Enseignement

Formulaire : dérivées et primitives

Leçon optionnelle — Aide-mémoire mathématique

Dérivées fondamentales

Fonctions de base

Fonction f(x)Dérivée f'(x)Domaine
cc (constante)00R\mathbb{R}
xnx^nnxn−1nx^{n-1}R\mathbb{R} (si n∈Nn \in \mathbb{N})
xαx^\alpha (α∈R\alpha \in \mathbb{R})αxα−1\alpha x^{\alpha-1}R+∗\mathbb{R}^{+*}
1x\frac{1}{x}−1x2-\frac{1}{x^2}R∗\mathbb{R}^*
x\sqrt{x}12x\frac{1}{2\sqrt{x}}R+∗\mathbb{R}^{+*}

Fonctions exponentielles et logarithmes

Fonction f(x)Dérivée f'(x)Domaine
exe^xexe^xR\mathbb{R}
axa^x (a>0a > 0)axln⁡(a)a^x \ln(a)R\mathbb{R}
ln⁡(x)\ln(x)1x\frac{1}{x}R+∗\mathbb{R}^{+*}
log⁡a(x)\log_a(x)1xln⁡(a)\frac{1}{x \ln(a)}R+∗\mathbb{R}^{+*}

Fonctions trigonométriques

Fonction f(x)Dérivée f'(x)Domaine
sin⁡(x)\sin(x)cos⁡(x)\cos(x)R\mathbb{R}
cos⁡(x)\cos(x)−sin⁡(x)-\sin(x)R\mathbb{R}
tan⁡(x)\tan(x)1cos⁡2(x)=1+tan⁡2(x)\frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)x≠π2+kπx \neq \frac{\pi}{2} + k\pi
cot⁡(x)\cot(x)−1sin⁡2(x)-\frac{1}{\sin^2(x)}x≠kπx \neq k\pi

Fonctions trigonométriques inverses

Fonction f(x)Dérivée f'(x)Domaine
arcsin⁡(x)\arcsin(x)11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}] ⁣−1,1 ⁣[]\!-1, 1\![
arccos⁡(x)\arccos(x)−11−x2-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}] ⁣−1,1 ⁣[]\!-1, 1\![
arctan⁡(x)\arctan(x)11+x2\frac{1}{1+x^2}R\mathbb{R}

Fonctions hyperboliques

Fonction f(x)Dérivée f'(x)Domaine
sinh⁡(x)\sinh(x)cosh⁡(x)\cosh(x)R\mathbb{R}
cosh⁡(x)\cosh(x)sinh⁡(x)\sinh(x)R\mathbb{R}
tanh⁡(x)\tanh(x)1cosh⁡2(x)=1−tanh⁡2(x)\frac{1}{\cosh^2(x)} = 1 - \tanh^2(x)R\mathbb{R}

Règles de dérivation

Opérations

RègleFormule
Somme(f+g)′=f′+g′(f + g)' = f' + g'
Produit par constante(λf)′=λf′(\lambda f)' = \lambda f'
Produit(fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg'
Quotient(fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}
Composition (chaîne)(f∘g)′=(f′∘g)⋅g′(f \circ g)' = (f' \circ g) \cdot g'
Inverse(f−1)′(y)=1f′(f−1(y))(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}

Formules composées utiles

(eu)′=u′⋅eu(e^{u})' = u' \cdot e^{u}
(ln⁡(u))′=u′u(\ln(u))' = \frac{u'}{u}
(un)′=n⋅u′⋅un−1(u^n)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}
(sin⁡(u))′=u′⋅cos⁡(u)(\sin(u))' = u' \cdot \cos(u)
(cos⁡(u))′=−u′⋅sin⁡(u)(\cos(u))' = -u' \cdot \sin(u)

Primitives fondamentales

Fonctions de base

Fonction f(x)Primitive F(x)Condition
xnx^n (n≠−1n \neq -1)xn+1n+1\frac{x^{n+1}}{n+1}—
1x\frac{1}{x}ln⁡∣x∣\ln|x|x≠0x \neq 0
exe^xexe^x—
axa^xaxln⁡(a)\frac{a^x}{\ln(a)}a>0,a≠1a > 0, a \neq 1

Fonctions trigonométriques

Fonction f(x)Primitive F(x)
sin⁡(x)\sin(x)−cos⁡(x)-\cos(x)
cos⁡(x)\cos(x)sin⁡(x)\sin(x)
tan⁡(x)\tan(x)−ln⁡∣cos⁡(x)∣-\ln|\cos(x)|
cot⁡(x)\cot(x)ln⁡∣sin⁡(x)∣\ln|\sin(x)|
1cos⁡2(x)\frac{1}{\cos^2(x)}tan⁡(x)\tan(x)
1sin⁡2(x)\frac{1}{\sin^2(x)}−cot⁡(x)-\cot(x)

Formes remarquables

Fonction f(x)Primitive F(x)
11+x2\frac{1}{1+x^2}arctan⁡(x)\arctan(x)
11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}arcsin⁡(x)\arcsin(x)
−11−x2-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}arccos⁡(x)\arccos(x)
1x2+1\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}argsh(x)=ln⁡(x+x2+1)\text{argsh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1})
1x2−1\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}argch(x)=ln⁡(x+x2−1)\text{argch}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2-1})

Fonctions hyperboliques

Fonction f(x)Primitive F(x)
sinh⁡(x)\sinh(x)cosh⁡(x)\cosh(x)
cosh⁡(x)\cosh(x)sinh⁡(x)\sinh(x)
tanh⁡(x)\tanh(x)ln⁡(cosh⁡(x))\ln(\cosh(x))

Formules composées (primitives)

∫u′(x)⋅eu(x) dx=eu(x)\int u'(x) \cdot e^{u(x)} \, dx = e^{u(x)}
∫u′(x)u(x) dx=ln⁡∣u(x)∣\int \frac{u'(x)}{u(x)} \, dx = \ln|u(x)|
∫u′(x)⋅[u(x)]n dx=[u(x)]n+1n+1(n≠−1)\int u'(x) \cdot [u(x)]^n \, dx = \frac{[u(x)]^{n+1}}{n+1} \quad (n \neq -1)
∫u′(x)⋅cos⁡(u(x)) dx=sin⁡(u(x))\int u'(x) \cdot \cos(u(x)) \, dx = \sin(u(x))
∫u′(x)⋅sin⁡(u(x)) dx=−cos⁡(u(x))\int u'(x) \cdot \sin(u(x)) \, dx = -\cos(u(x))

Techniques d'intégration

Intégration par parties

∫u dv=uv−∫v du\int u \, dv = uv - \int v \, du

Exemple : ∫xex dx\int x e^x \, dx

On pose u=xu = x, dv=exdxdv = e^x dx, donc du=dxdu = dx, v=exv = e^x :

∫xex dx=xex−∫ex dx=xex−ex=(x−1)ex\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x = (x-1)e^x

Changement de variable

∫f(g(x))⋅g′(x) dx=∫f(u) duavec u=g(x)\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du \quad \text{avec } u = g(x)

Exemple : ∫2x⋅ex2 dx\int 2x \cdot e^{x^2} \, dx

On pose u=x2u = x^2, du=2x dxdu = 2x \, dx :

∫2x⋅ex2 dx=∫eu du=eu=ex2\int 2x \cdot e^{x^2} \, dx = \int e^u \, du = e^u = e^{x^2}

Intégrales remarquables

Forme 1ax+b\frac{1}{ax+b}

∫1ax+b dx=1aln⁡∣ax+b∣\int \frac{1}{ax+b} \, dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b|

Forme 1x2+a2\frac{1}{x^2+a^2}

∫1x2+a2 dx=1aarctan⁡(xa)\int \frac{1}{x^2+a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right)

Forme 1a2−x2\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}

∫1a2−x2 dx=arcsin⁡(xa)\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \, dx = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right)

Forme 1x2±a2\frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}

∫1x2+a2 dx=ln⁡(x+x2+a2)\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \, dx = \ln\left(x + \sqrt{x^2+a^2}\right)
∫1x2−a2 dx=ln⁡∣x+x2−a2∣\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} \, dx = \ln\left|x + \sqrt{x^2-a^2}\right|

Identités utiles

Identités trigonométriques

sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
1+tan⁡2(x)=1cos⁡2(x)1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}
sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)
cos⁡(2x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)=2cos⁡2(x)−1=1−2sin⁡2(x)\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x)

Linéarisation

cos⁡2(x)=1+cos⁡(2x)2\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}
sin⁡2(x)=1−cos⁡(2x)2\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}

Identités hyperboliques

cosh⁡2(x)−sinh⁡2(x)=1\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1
cosh⁡(x)=ex+e−x2\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}
sinh⁡(x)=ex−e−x2\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}

Développements de Taylor courants

ex=1+x+x22!+x33!+⋯=∑n=0∞xnn!e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
sin⁡(x)=x−x33!+x55!−⋯=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
cos⁡(x)=1−x22!+x44!−⋯=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}
ln⁡(1+x)=x−x22+x33−⋯=∑n=1∞(−1)n+1xnn(∣x∣<1)\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} \quad (|x| < 1)
11−x=1+x+x2+x3+⋯=∑n=0∞xn(∣x∣<1)\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \quad (|x| < 1)
(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+⋯(∣x∣<1)(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots \quad (|x| < 1)

Application en analyse numérique

💡

Utilisation des formules

Ces formules sont essentielles pour :

  • Calculer les bornes d'erreur des méthodes numériques (via les dérivées)
  • Construire des approximations de Taylor pour la troncature
  • Vérifier des résultats numériques avec des solutions analytiques
  • Appliquer les substitutions dans les intégrales (voir leçon suivante)